Materi Interaktif Fungsi Boolean

⚡

Fungsi Boolean

Pelajari operasi dasar AND, OR, NOT dan logika digital

📊

Bentuk Kanonik

Minterm & Maxterm dengan literal lengkap

📐

Bentuk Baku

SOP & POS standar dalam aljabar Boolean

🔧

Penyederhanaan

Metode simplifikasi ekspresi Boolean

🎮

Latihan Interaktif

Uji pemahaman dengan soal latihan online

🎯

Boolean Quiz

Game cepat tebak hasil operasi Boolean

📚 Pengertian

Fungsi Boolean adalah fungsi matematika yang hanya memiliki dua nilai: 0 (False) dan 1 (True). Fungsi ini digunakan dalam sistem digital dan logika komputer.

💡 Contoh dalam kehidupan sehari-hari:
Lampu: Menyala (1) atau Mati (0)
Pintu: Terbuka (1) atau Tertutup (0)
Saklar: ON (1) atau OFF (0)

🔌 Operasi Dasar Boolean

AND (∧): Bernilai 1 jika SEMUA input 1

OR (∨): Bernilai 1 jika SALAH SATU input 1

NOT (¬): Membalik nilai (0→1, 1→0)

Tabel Kebenaran:

A	B	A AND B	A OR B	NOT A
0	0	0	0	1
0	1	0	1	1
1	0	0	1	0
1	1	1	1	0

💡 Demo Interaktif: Operasi AND

🚪 Pintu Brankas: Pintu hanya terbuka jika KEDUA kunci diaktifkan (AND)

Kunci A:

OFF

Kunci B:

OFF

🔒

Pintu Terkunci

🔓 Demo Interaktif: Operasi OR

🚨 Alarm Keamanan: Alarm berbunyi jika SALAH SATU sensor mendeteksi gerakan (OR)

Sensor Depan:

OFF

Sensor Belakang:

OFF

🔕

Alarm Nonaktif

🔄 Demo Interaktif: Operasi NOT

🌡️ Sistem AC Otomatis: AC menyala saat tombol OFF, AC mati saat tombol ON (NOT/inverter)

Tombol Manual:

OFF

❄️

AC Menyala

📝 Contoh Fungsi Boolean

Fungsi dengan 2 variabel:

f(x,y) = xy
h(x,y) = (x + y)

Fungsi dengan 3 variabel:

f(x,y,z) = xyz + x'y'z' + xy'z
g(x,y,z) = (x+y+z)(x'+y+z)(x+y'+z)(x'+y'+z)(x+y+z')

⭐ Perhatikan:
• Fungsi f muncul dalam bentuk penjumlahan dari perkalian (SOP)
• Fungsi g muncul dalam bentuk perkalian dari hasil jumlah (POS)
• Setiap suku (term) mengandung literal yang lengkap x, y, dan z
• Kedua fungsi bisa sama secara logika meski bentuknya berbeda!

🔌 Analogi Saklar untuk Operasi Boolean

Untuk memahami operasi Boolean lebih dalam dengan analogi rangkaian listrik:

🔗 Kunjungi:
Aplikasi Aljabar Boolean - Analogi Saklar

Pelajari bagaimana saklar seri dan paralel menggambarkan operasi AND dan OR!

🔗 Atau:
Aplikasi Aljabar Boolean - Analogi Saklar

Switching Network!

📚 Definisi Bentuk Kanonik

Bentuk Kanonik adalah bentuk standar fungsi Boolean di mana SETIAP SUKU mengandung SEMUA literal (variabel) secara lengkap.

⭐ Kunci Penting:
Untuk 2 variabel (x, y): Setiap suku harus mengandung x DAN y
Untuk 3 variabel (x, y, z): Setiap suku harus mengandung x DAN y DAN z

1️⃣ Sum of Products (SOP) / Minterm

SOP Kanonik = Jumlah dari hasil kali dengan literal lengkap

Contoh SOP Kanonik (2 variabel):
f(x,y) = x'y' + x'y + xy

✅ SETIAP suku mengandung x DAN y (lengkap)
✅ Ini adalah BENTUK KANONIK SOP

Tabel Minterm (2 variabel):

x	y	Minterm	Notasi
0	0	x'y'	m₀
0	1	x'y	m₁
1	0	xy'	m₂
1	1	xy	m₃

Tabel Minterm (3 variabel):

x	y	z	Minterm	Notasi
0	0	0	x'y'z'	m₀
0	0	1	x'y'z	m₁
0	1	0	x'yz'	m₂
0	1	1	x'yz	m₃
1	0	0	xy'z'	m₄
1	0	1	xy'z	m₅
1	1	0	xyz'	m₆
1	1	1	xyz	m₇

2️⃣ Product of Sums (POS) / Maxterm

POS Kanonik = Hasil kali dari jumlah dengan literal lengkap

Contoh POS Kanonik (2 variabel):
f(x,y) = (x+y)(x+y')(x'+y)

✅ SETIAP suku mengandung x DAN y (lengkap)
✅ Ini adalah BENTUK KANONIK POS

Tabel Maxterm (2 variabel):

x	y	Maxterm	Notasi
0	0	(x+y)	M₀
0	1	(x+y')	M₁
1	0	(x'+y)	M₂
1	1	(x'+y')	M₃

Tabel Maxterm (3 variabel):

x	y	z	Maxterm	Notasi
0	0	0	(x+y+z)	M₀
0	0	1	(x+y+z')	M₁
0	1	0	(x+y'+z)	M₂
0	1	1	(x+y'+z')	M₃
1	0	0	(x'+y+z)	M₄
1	0	1	(x'+y+z')	M₅
1	1	0	(x'+y'+z)	M₆
1	1	1	(x'+y'+z')	M₇

📌 SOP Kanonik

Penjumlahan (+) dari suku-suku
Setiap suku = perkalian literal
Contoh: x'y + xy' + xy
Semua literal ada di tiap suku

📌 POS Kanonik

Perkalian (·) dari suku-suku
Setiap suku = penjumlahan literal
Contoh: (x+y)(x'+y)(x+y')
Semua literal ada di tiap suku

🎯 Jawaban Soal Utama

Fungsi Boolean yang dinyatakan sebagai jumlah dari hasil kali, hasil kali dari jumlah dengan setiap suku mengandung literal yang lengkap disebut dengan:

✅ BENTUK KANONIK

Penjelasan:
�� "Jumlah dari hasil kali" = SOP Kanonik
• "Hasil kali dari jumlah" = POS Kanonik
• "Setiap suku mengandung literal lengkap" = Ciri khas KANONIK

📚 Studi Kasus: Konversi ke Bentuk Kanonik

🎯 Soal:
Diketahui tabel kebenaran berikut untuk fungsi f(x,y,z):

x	y	z	f(x,y,z)
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	0
1	1	1	1

Nyatakan fungsi tersebut dalam:
a) Bentuk Kanonik SOP
b) Bentuk Kanonik POS

✍️ Penyelesaian:

a) Bentuk Kanonik SOP (Sum of Products)
Ambil semua baris yang bernilai 1 (menggunakan minterm):

• Baris 1: x=0, y=0, z=1 → minterm = x'y'z (m₁)
• Baris 2: x=0, y=1, z=0 → minterm = x'yz' (m₂)
• Baris 5: x=1, y=0, z=1 → minterm = xy'z (m₅)
• Baris 7: x=1, y=1, z=1 → minterm = xyz (m₇)

Jawaban SOP Kanonik:
f(x,y,z) = x'y'z + x'yz' + xy'z + xyz
atau dalam notasi: f = Σm(1,2,5,7)

b) Bentuk Kanonik POS (Product of Sums)
Ambil semua baris yang bernilai 0 (menggunakan maxterm):

• Baris 0: x=0, y=0, z=0 → maxterm = (x+y+z) (M₀)
• Baris 3: x=0, y=1, z=1 → maxterm = (x+y'+z') (M₃)
• Baris 4: x=1, y=0, z=0 → maxterm = (x'+y+z) (M₄)
• Baris 6: x=1, y=1, z=0 → maxterm = (x'+y'+z) (M₆)

Jawaban POS Kanonik:
f(x,y,z) = (x+y+z)(x+y'+z')(x'+y+z)(x'+y'+z)
atau dalam notasi: f = ΠM(0,3,4,6)

⭐ Catatan Penting:
• SOP: gunakan minterm dari baris f=1
• POS: gunakan maxterm dari baris f=0
• Kedua bentuk menghasilkan fungsi yang sama!
• Setiap suku mengandung SEMUA literal (x, y, dan z)

📚 Definisi Bentuk Baku

Bentuk Baku adalah bentuk standar fungsi Boolean di mana literal TIDAK HARUS lengkap dalam setiap suku.

⭐ Perbedaan Utama:
KANONIK: Setiap suku HARUS mengandung SEMUA literal
BAKU: Literal boleh tidak lengkap, lebih sederhana

📊 BENTUK KANONIK

SOP Kanonik:
f = x'y' + x'y + xy

✅ Setiap suku: 2 literal (lengkap)

📐 BENTUK BAKU

SOP Baku:
f = x' + y

✅ Suku pertama: 1 literal
✅ Suku kedua: 1 literal
(Lebih sederhana!)

1️⃣ SOP Baku (Standard SOP)

SOP Baku = Jumlah dari hasil kali, tapi literal boleh tidak lengkap

Contoh SOP Baku:

1. f(x,y) = x + y
�� Setiap suku hanya 1 literal (tidak lengkap) ✅ BAKU

2. f(x,y,z) = xy + z
→ Suku pertama: 2 literal, Suku kedua: 1 literal ✅ BAKU

3. f(x,y) = x'y' + xy' + xy
→ Setiap suku: 2 literal (lengkap) ✅ INI KANONIK, BUKAN BAKU SAJA

2️⃣ POS Baku (Standard POS)

POS Baku = Hasil kali dari jumlah, tapi literal boleh tidak lengkap

Contoh POS Baku:

1. f(x,y) = x · y
→ Setiap suku hanya 1 literal ✅ BAKU

2. f(x,y,z) = (x+y) · z
→ Suku pertama: 2 literal, Suku kedua: 1 literal ✅ BAKU

3. f(x,y) = (x+y)(x'+y)(x+y')
→ Setiap suku: 2 literal (lengkap) ✅ INI KANONIK

🔍 Perbandingan Detail

Aspek	Bentuk Kanonik	Bentuk Baku
Literal	Harus lengkap di setiap suku	Boleh tidak lengkap
Kesederhanaan	Lebih panjang	Lebih sederhana
Kegunaan	Untuk K-map, standarisasi	Untuk implementasi praktis
Contoh SOP	x'y + xy' + xy	x + y
Contoh POS	(x+y)(x'+y)	x · y

💡 Kapan Dipakai?

Bentuk Kanonik:
• Saat mengisi K-map (Karnaugh Map)
• Untuk standarisasi fungsi Boolean
• Dalam analisis formal sistem digital

Bentuk Baku:
• Implementasi rangkaian digital praktis
• Setelah penyederhanaan aljabar
• Untuk efisiensi hardware (lebih sedikit gerbang logika)

📚 Tujuan Penyederhanaan

Mengubah fungsi Boolean menjadi bentuk yang lebih sederhana dengan jumlah literal dan operasi yang minimal, namun tetap ekuivalen secara logika.

💡 Manfaat:
• Mengurangi jumlah gerbang logika dalam rangkaian
• Menghemat biaya hardware
• Meningkatkan kecepatan pemrosesan
• Memudahkan implementasi

1️⃣ Metode Aljabar (Cut-and-Try)

Menggunakan hukum-hukum aljabar Boolean untuk menyederhanakan ekspresi.

Hukum-Hukum Penting:

Hukum Identitas:
• x + 0 = x
• x · 1 = x

Hukum Null:
• x + 1 = 1
• x · 0 = 0

Hukum Komplemen:
• x + x' = 1
• x · x' = 0

Hukum Idempoten:
• x + x = x
• x · x = x

Hukum Komutatif:
• x + y = y + x
• x · y = y · x

Hukum Asosiatif:
• (x + y) + z = x + (y + z)
• (x · y) · z = x · (y · z)

Hukum Distributif:
• x(y + z) = xy + xz
• x + yz = (x + y)(x + z)

Hukum Absorpsi:
• x + xy = x
• x(x + y) = x

Hukum Reduksi:
• xy + x'y = y
• (x + y)(x' + y) = y

Hukum Konsensus:
• xy + x'z + yz = xy + x'z

📝 Contoh Penyederhanaan:

Contoh 1:
f = x + x'y
= (x + x')(x + y) → Distributif
= 1 · (x + y) → Komplemen
= x + y ✅ Hasil sederhana

Contoh 2:
f = xy + xy' + x'y
= x(y + y') + x'y → Faktorisasi
= x · 1 + x'y → Komplemen
= x + x'y → Identitas
= x + y ✅ Hasil sederhana

📚 Studi Kasus Metode Aljabar:

🎯 Soal:
Sederhanakan fungsi Boolean berikut menggunakan hukum aljabar:
f(x,y,z) = x'yz + xyz + xy'z + xyz'

✍️ Penyelesaian:

Langkah 1: Identifikasi suku yang mirip
f = x'yz + xyz + xy'z + xyz'

Langkah 2: Kelompokkan suku yang mengandung xyz
f = (x'yz + xyz) + (xy'z + xyz')

Langkah 3: Faktorkan kelompok pertama
(x'yz + xyz) = yz(x' + x)
= yz(1) → Hukum Komplemen
= yz

Langkah 4: Faktorkan kelompok kedua
(xy'z + xyz') = x(y'z + yz')

Langkah 5: Gabungkan hasil
f = yz + x(y'z + yz')

Langkah 6: Ekspansi untuk cek
f = yz + xy'z + xyz'

✅ Hasil Akhir:
f = yz + x(y'z + yz')
atau
f = yz + xy'z + xyz'

💡 Kesimpulan:
Dari 4 suku literal menjadi 3 suku → lebih sederhana!

2️⃣ Karnaugh Map (K-Map)

K-Map adalah metode grafis untuk menyederhanakan fungsi Boolean dengan mengelompokkan minterm.

Langkah K-Map:
1. Gambar tabel K-Map sesuai jumlah variabel
2. Isi nilai 1 pada sel sesuai minterm
3. Kelompokkan sel berisi 1 (ukuran 1, 2, 4, 8...)
4. Baca hasil dari kelompok yang terbentuk
5. Suku dengan literal yang berubah dihilangkan

Contoh K-Map (2 variabel):

	y=0	y=1
x=0	1	1
x=1	0	1

Hasil: f = x' + y (dari pengelompokan)

📚 Studi Kasus K-Map (3 variabel):

🎯 Soal:
Sederhanakan fungsi berikut menggunakan K-Map:
f(x,y,z) = Σm(1,2,5,7)
atau: f = x'y'z + x'yz' + xy'z + xyz

✍️ Penyelesaian:

Langkah 1: Buat K-Map 3 variabel

		yz
		00	01	11	10
x	0	0	1	0	1
x	1	0	1	1	1

Langkah 2: Identifikasi kelompok
• Kelompok 1 (hijau): m₁ dan m₅ (vertikal) → eliminasi x
  Variabel tetap: y=0, z=1 → y'z

• Kelompok 2 (pink): m₂ dan m₆ (wrap around) → eliminasi x
  Variabel tetap: y=1, z=0 → yz'

• Sel tunggal (merah): m₇ → xyz
  (Tidak bisa digabung dengan yang lain)

✅ Hasil Akhir:
f = y'z + yz' + xyz

💡 Verifikasi:
• y'z mencakup: x'y'z (m₁) dan xy'z (m₅) ✓
• yz' mencakup: x'yz' (m₂) dan xyz' (m₆) ✓
• xyz mencakup: xyz (m₇) ✓

🎯 Kesimpulan:
Dari bentuk kanonik 4 suku → menjadi 3 suku yang lebih sederhana!

3️⃣ Quine-McCluskey

Metode Quine-McCluskey adalah metode tabulasi sistematis untuk fungsi Boolean dengan banyak variabel.

Keunggulan:
• Lebih sistematis dari metode aljabar
• Cocok untuk fungsi dengan banyak variabel (>4)
• Dapat dikomputerisasi
• Selalu menghasilkan bentuk minimal

Kekurangan:
• Lebih rumit untuk fungsi sederhana
• Memerlukan banyak langkah tabulasi

📚 Studi Kasus Quine-McCluskey:

🎯 Soal:
Sederhanakan menggunakan metode Quine-McCluskey:
f(x,y,z) = Σm(1,3,5,7)

✍️ Penyelesaian:

Langkah 1: Tuliskan minterm dalam biner dan kelompokkan berdasarkan jumlah 1

Minterm	x	y	z	Kelompok
m₁	0	0	1	1 (satu '1')
m₃	0	1	1	2 (dua '1')
m₅	1	0	1	2 (dua '1')
m₇	1	1	1	3 (tiga '1')

Langkah 2: Gabungkan minterm yang berbeda 1 bit
• m₁(001) + m₃(011) = 0-1 → x'y'z + x'yz = x'z ✓
• m₁(001) + m₅(101) = -01 → x'y'z + xy'z = y'z ✓
• m₃(011) + m₇(111) = -11 → x'yz + xyz = yz ✓
• m₅(101) + m₇(111) = 1-1 → xy'z + xyz = xz ✓

Langkah 3: Gabungkan lagi hasil Langkah 2 jika memungkinkan
• x'z(0-1) + xz(1-1) = z (berbeda di posisi x) ✓
• y'z(-01) + yz(-11) = z (berbeda di posisi y) ✓

Semua menghasilkan: z

Langkah 4: Buat tabel prime implicant

	m₁	m₃	m₅	m₇
z	✓	✓	✓	✓

✅ Hasil Akhir:
f = z

💡 Kesimpulan:
• Fungsi yang awalnya 4 minterm disederhanakan menjadi hanya z
• Ini adalah bentuk paling minimal!
• Metode ini sistematis dan pasti menghasilkan bentuk minimal

📊 Perbandingan Metode

Metode	Kelebihan	Kekurangan	Cocok Untuk
Aljabar	Sederhana, langsung	Butuh intuisi, trial-error	Fungsi sederhana
K-Map	Visual, mudah dipahami	Terbatas ≤6 variabel	2-4 variabel
Quine-McCluskey	Sistematis, banyak variabel	Rumit, banyak langkah	>4 variabel

Skor: 0 | Waktu: 30s

0 AND 1

Apa hasilnya?

Skor: 0 / 5

Fungsi Boolean, Bentuk Kanonik, dan Bentuk Baku

⚡ Fungsi Boolean